Question

4．三棱锥的四个面中，设Rt△的个数为n，若当n取最大值时，该三棱锥的最大棱长为（n+1）²-2ⁿ，则该三棱锥外接球的表面积为81π．

Answer 1

分析 由题意画出图形，可知三棱锥P-ABC的四个面中，Rt△的个数n的最大值为4，结合直径所对圆周角为直角可知最大棱PC为三棱锥外接球的直径，则该三棱锥外接球的表面积可求．

解答 解：如图，

三棱锥P-ABC的四个面中，Rt△的个数n的最大值为4，
此时PA⊥面ABC，∠ABC=90°，则∠PBC=90°，
三棱锥的最大边为PC，
由题意可得PC=5²-2⁴=9，其外接球的半径为$\frac{1}{2}PC=\frac{9}{2}$，
∴外接球的表面积为S=4π•$（\frac{9}{2}）^{2}=81π$．
故答案为：81π．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．