Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{e}^{2x}+bx+c，}&{x≤1}\\{a（{x}^{2}lnx-x+1）+1，}&{x≥1}\end{array}\right.$
（Ⅰ）若0＜b＜2e²，试讨论函数f（x）在区间（-∞，1]上的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=0处取得极值1，求f（x）在区间[-2，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当x≤1时，f′（x）=-2e^2x+b，令f′（x）=0得导函数有唯一零点x=$\frac{1}{2}ln\frac{b}{2}$，讨论各区间上导函数的符号，可得函数f（x）在区间（-∞，1]上的单调性；
（Ⅱ）根据函数f（x）在x=0处取得极值1，可求出b，c的值，对a进行分类讨论，可得a取不同值时，f（x）在区间[-2，2]上的最大值．

解答 解：（Ⅰ）当x≤1时，f′（x）=-2e^2x+b，
易知函数f′（x）为（-∞，1]上的减函数，令f′（x）=0得导函数有唯一零点x=$\frac{1}{2}ln\frac{b}{2}$，
因为0＜b＜2e²，因此x=$\frac{1}{2}ln\frac{b}{2}$＜1，故导数值在（-∞，$\frac{1}{2}ln\frac{b}{2}$）为正，在（$\frac{1}{2}ln\frac{b}{2}$，1]为负，
所以函数f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}ln\frac{b}{2}$）为增函数，在（$\frac{1}{2}ln\frac{b}{2}$，1]为减函数；
（Ⅱ）由题意当x=0时，f（0）=c-1=1，
∴c=2，
当x＜1时，f′（x）=-2e^2x+b，
依题意得f′（0）=b-2=0，
∴b=2，
经检验b=2，c=2符合条件，因此f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{e}^{2x}+2x+2，&x≤1\\ a（{x}^{2}lnx-x+1）+1，&x≥1\end{array}\right.$
当-2≤x≤1时，f（x）=-e^2x+2x+2，f′（x）=-2e^2x+2，
令f′（x）=0得x=0当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1
f′（x）		+	0	-
f（x）	-e-4-2	递增	极大值1	递减	4-e2

由上表可知f（x）在[-2，1]上的最大值为1．
当1＜x≤2时，f（x）=a（x²lnx-x+1）+1．
f′（x）=a（2xlnx+x-1），
令g（x）=2xlnx+x-1，
当1＜x≤2时，显然g（x）＞0恒成立，
当a＜0时，f′（x）=a（2xlnx+x-1）＜0，
f（x）在（1，2]单调递减，所以f（x）＜f（1）=1恒成立．
此时函数在[-2，2]上的最大值为1；
当a=0时，在（1，2]上f（x）=1，
当a＞0时，在（1，2]上f′（x）=a（2xlnx+x-1）＞0
所以在（1，2]上，函数f（x）为单调递增函数．
∴f（x）在（1，2]最大值为a（4ln2-1）+1，
∵a（4ln2-1）+1＞1，故函数f（x）在[-2，2]上最大值为a（4ln2-1）+1．
综上：当a≤0时，f（x）在[-2，2]上的最大值为1；
当a＞0时，f（x）在[-2，2]最大值为a（4ln2-1）+1．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，导数法确定函数的单调性和最值，是分段函数与导数的综合应用，难度较大，属于难题．