Question

1．设正实数x，y，z满足x+y+z=4，xy+yz+zx=5，则y的取值范围为[$\frac{2}{3}$，2]．

Answer 1

分析 把x，z看成是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式及韦达定理，得到y的取值范围．

解答 解：∵x+y+z=4，
∴x+z=4-y，①
∵xy+yz+zx=5，
∴xz=5-（yz+xy）=5-y（x+z）=5-y（4-y），
即xz=5-4y+y²，②
由①②及韦达定理知：x，z是一元二次方程t²-（4-y）t+（5-4y+y²）=0的两实根，
则判别式△=（4-y）²-4（5-4y+y²）≥0，
且4-y＞0，5-4y+y²＞0，
化简得：3y²-8y+4≤0，
∴$\frac{2}{3}$≤y≤2．
故答案为：[$\frac{2}{3}$，2]

点评 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式求出y的取值范围，属于中档题．