Question

2．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线都与圆（x-c）²+y²=ac（c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$相切，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（ a＞0，b＞0）的渐近线与（x-c）²+y²=ac相切，可得圆心（c，0）到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：取双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x，即bx-ay=0．
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（ a＞0，b＞0）的渐近线与（x-c）²+y²=ac相切，
∴圆心（c，0）到渐近线的距离d=r，
∴$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{ac}$，化为b²=ac，
两边平方得ac=c²-a²，化为e²-e-1=0．
∵e＞1，
∴e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故选D．

点评 本题考查了双曲线的渐近线及其离心率、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质扥个基础知识与基本技能方法，属于中档题．