Question

12．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x＜a}\\{{x}^{2}，x≥a}\end{array}\right.$对任意实数b，关于x的方程f（x）-b=0总有实数根，则a的取值范围是[0，1]．

Answer 1

分析 若对任意实数b，关于x的方程f（x）-b=0总有实数根，即对任意实数b，函数f（x）的图象与直线y=b总有交点，即函数f（x）的值域为R，结合二次函数和一次函数的图象和性质，可得a的取值范围．

解答 解：若对任意实数b，关于x的方程f（x）-b=0总有实数根，
即对任意实数b，函数f（x）的图象与直线y=b总有交点，
即函数f（x）的值域为R，
∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x＜a}\\{{x}^{2}，x≥a}\end{array}\right.$，
在同一坐标系中画出y=x与y=x²的图象，

由图可得：当a∈[0，1]时，函数f（x）的值域为R，
故a的取值范围是[0，1]，
故答案为：[0，1]．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的图象和性质，其中分析出已知条件等价于函数f（x）的值域为R，是解答的关键．