Question

4．已知△ABC的内角A，C满足$\frac{sinC}{sinA}$=cos（A+C），则tanC的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由已知可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=-sinAcosB，从而化简得tanB=-2tanA，由tanC=-tan（A+B）利用tanA表示，根据基本不等式求tanC的最大值

解答 解：由$\frac{sinC}{sinA}$=cos（A+C）=-cosB，
所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=-sinAcosB，
所以：cosAsinB=-2sinAcosB，
所以：tanB=-2tanA，
因为：tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{tanA}{1+2ta{n}^{2}A}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanA}+2tanA}$$≤\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$；当且仅当$\frac{1}{tanA}=2tanA$时等号成立．
所以tanC的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式、正弦函数公式、正切函数公式的应用，考查了基本不等式的应用，属于中档题．