Question

15．已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AD=AB=$\frac{1}{2}$CD=1，PD⊥面ABCD，PD=$\sqrt{2}$，E是PC的中点
（1）证明：BC⊥平面PBD；
（2）求二面角E-BD-C的大小．

Answer 1

分析 （1）由条件即可以D为坐标原点，DA，DC，DP三直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出图形中各点的坐标，求$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{DB}=0$，从而得到BC⊥DB．而由PD⊥面ABCD即可得到BC⊥PD，从而由线面垂直的判定定理即可得出BC⊥平面PBD；
（2）首先看出$\overrightarrow{DP}$是平面CBD的一条法向量，并且可设平面EBD的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{n}$，可求出cos$＜\overrightarrow{DP}，\overrightarrow{n}＞$，可设二面角E-BD-C的大小为θ，而根据平面法向量的夹角和两平面形成二面角的关系即可求出cosθ，从而求出θ．

解答 解：根据已知条件，DA，DC，DP三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），E（0，1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；
（1）证明：$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{DB}=（1，1，0）$；
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{DB}=0$；
∴$\overrightarrow{BC}⊥\overrightarrow{DB}$；
∴BC⊥DB；
又PD⊥面ABCD，BC?面ABCD；
∴BC⊥PD，PD∩DB=D；
∴BC⊥平面PBD；
（2）$\overrightarrow{DP}=（0，0，\sqrt{2}）$为平面CBD的一条法向量，$\overrightarrow{DE}=（0，1，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$\overrightarrow{DB}=（1，1，0）$；
设平面EBD的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=y+\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{z=-\sqrt{2}y}\\{x=-y}\end{array}\right.$，取y=1，则$\overrightarrow{n}=（-1，1，-\sqrt{2}）$；
设二面角E-BD-C的大小为θ，则cos$θ=-cos＜\overrightarrow{DP}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{2}{\sqrt{2}•2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴θ=45°；
即二面角E-BD-C的大小为45°．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直，以及求二面角大小的方法，线面垂直的判定定理，两非零向量垂直的充要条件，平面法向量的概念及求法，向量夹角余弦的坐标公式，弄清两平面法向量的夹角和这两平面形成二面角的大小的关系．