Question

20．已知函数f（x）=lnx，g（x）+f（x）=$\frac{1}{2}$px²-qx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．
（1）试用含有p的式子表示q；
（2）若p≤0，试讨论函数g（x）的单调性；
（3）当x≠1，h（x）f（x）=x²-4tx+4t²，（其中t为常数），若t∈（0，$\frac{1}{2}$），函数h（x）有三个极值点为a，b，c，且a＜b＜c．证明0＜2a＜b＜1＜c．

Answer 1

分析 （1）由题意化简g（x）=-lnx+$\frac{1}{2}$px²-qx，求导g′（x）=-$\frac{1}{x}$+px-q；从而可得g′（1）=-1+p-q=0，从而解得；
（2）先确定函数g（x）=-lnx+$\frac{1}{2}$px²-qx的定义域，再求导g′（x）=-$\frac{1}{x}$+px-q=$\frac{（px+1）（x-1）}{x}$，讨论以确定其正负，从而确定函数的单调性；
（3）由题意化简h（x）=$\frac{{x}^{2}-4tx+4{t}^{2}}{lnx}$，求导h′（x）=$\frac{（x-2t）（2lnx-\frac{x-2t}{x}）}{l{n}^{2}x}$，再令m（x）=2lnx-$\frac{x-2t}{x}$，求导m′（x）=$\frac{2（x-t）}{{x}^{2}}$；从而可判断0＜a＜t，b=2t＜1，c＞1；从而证明．

解答 解：（1）由已知得g（x）=-lnx+$\frac{1}{2}$px²-qx，
g′（x）=-$\frac{1}{x}$+px-q，
又∵函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，
∴g′（1）=-1+p-q=0，
故q=p-1；
（2）由（1）知，g（x）=-lnx+$\frac{1}{2}$px²-qx的定义域为（0，+∞），
g′（x）=-$\frac{1}{x}$+px-q=$\frac{（px+1）（x-1）}{x}$，
①当p=0时，
g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
②当p=-1时，g′（x）=-$\frac{（x-1）^{2}}{x}$≤0，
故g（x）在（0，+∞）上是减函数；
③当p＜-1时，g′（x）=$\frac{p（x+\frac{1}{p}）（x-1）}{x}$；
0＜-$\frac{1}{p}$＜1；
故g（x）在（0，-$\frac{1}{p}$），（1，+∞）上是减函数，在（-$\frac{1}{p}$，1）上是增函数；
④当-1＜p＜0时，g′（x）=$\frac{p（x+\frac{1}{p}）（x-1）}{x}$；
-$\frac{1}{p}$＞1；
故g（x）在（0，1），（-$\frac{1}{p}$，+∞）上是减函数，在（1，-$\frac{1}{p}$）上是增函数；
（3）证明：由题意得，
h（x）=$\frac{{x}^{2}-4tx+4{t}^{2}}{lnx}$，h′（x）=$\frac{（x-2t）（2lnx-\frac{x-2t}{x}）}{l{n}^{2}x}$
令m（x）=2lnx-$\frac{x-2t}{x}$，m′（x）=$\frac{2（x-t）}{{x}^{2}}$；
故m（x）=2lnx-$\frac{x-2t}{x}$在（0，t）上单调递减，在（t，+∞）上单调递增；
而函数h（x）有三个极值点为a，b，c，
则m（x）=2lnx-$\frac{x-2t}{x}$=0在（0，+∞）上有两个不相等相都不等于2t的根，
且h（x）的一个极值点为2t；
∵t∈（0，$\frac{1}{2}$），m_min（x）=m（t）=2lnt+1＜2ln$\frac{1}{2}$+1＜0；
m（1）=2ln1+2t-1=2t-1＜0；
又∵a＜b＜c，
∴0＜a＜t，b=2t＜1，c＞1；
∴0＜2a＜b＜1＜c．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，难题在于构造函数以使问题简化，属于难题．