Question

8．若正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB，CC₁的中点，则异面直线EF和A₁C₁所成角的大小是30°．

Answer 1

分析 由题意画出图形，取AA₁中点G，连接FG，可得异面直线EF和A₁C₁所成角即为∠EFG，然后设出正方体的棱长，通过求解直角三角形求出△EFG的三边长，再利用余弦定理求得答案．

解答 解：如图，

取AA₁中点G，连接FG，EG，
则FG∥A₁C₁，
异面直线EF和A₁C₁所成角即为∠EFG．
设正方体的棱长为2，则$FG={A}_{1}{C}_{1}=2\sqrt{2}$，
GE=$\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{E{B}^{2}+B{C}^{2}+C{F}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{6}$．
在△EFG中，cos∠EFG=$\frac{E{F}^{2}+G{F}^{2}-E{G}^{2}}{2•EF•EG}=\frac{（\sqrt{6}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}{2×\sqrt{6}×2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴∠EFG=30°．
即异面直线EF和A₁C₁所成角的大小是30°．
故答案为：30°．

点评 本题考查异面直线及其所成的角，考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧，是中档题．