Question

9．记方程①：x²+a₁x+1=0，方程②：x²+a₂x+2=0，方程③：x²+a₃x+4=0，其中a₁，a₂，a₃是正实数．当a₁，a₂，a₃成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（　　）

• A． 方程①有实根，且②有实根
• B． 方程①有实根，且②无实根
• C． 方程①无实根，且②有实根
• D． 方程①无实根，且②无实根

Answer 1

分析 根据方程根与判别式△之间的关系求出a₁²≥4，a₂²＜8，结合a₁，a₂，a₃成等比数列求出方程③的判别式△的取值即可得到结论．

解答 解：当方程①有实根，且②无实根时，△₁=a₁²-4≥0，△₂=a₂²-8＜0，
即a₁²≥4，a₂²＜8，
∵a₁，a₂，a₃成等比数列，
∴a₂²=a₁a₃，
即a₃=$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{a}_{1}}$，
则a₃²=（$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{a}_{1}}$）²=$\frac{{{a}_{2}}^{4}}{{{a}_{1}}^{2}}$$＜\frac{{8}^{2}}{4}=16$，
即方程③的判别式△₃=a₃²-16＜0，此时方程③无实根，
故选：B

点评 本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键．