Question

11．设函数f（x）=a^x+m（a＞0，或a≠1）的图象经过点A（1，0），B（2，-$\frac{1}{4}$）．
（1）求a、m的值；
（2）若函数y=f（x）在区间[-2，b]（b＞-2）上的最大值是最小值的7倍，求b的值；
（3）若不等式ln[（4-t）f（x）+$\frac{1}{2}$t]＞0对任意实数t∈[-1，1]恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点A（1，0），B（2，-$\frac{1}{4}$）的坐标代入方程f（x）=a^x+m，求解关于a，m的方程组得答案；
（2）由f（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}-\frac{1}{2}$在[-2，b]上为减函数求得函数的最值，再由最大值是最小值的7倍列式求得b的值；
（3）把不等式ln[（4-t）f（x）+$\frac{1}{2}$t]＞0转化为（4-t）f（x）+$\frac{1}{2}$t＞1，把f（x）代入，然后更换主元，令g（t）=$[1-（\frac{1}{2}）^{x}]t+4•（\frac{1}{2}）^{x}-3$，由$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=（\frac{1}{2}）^{x}-1+4•（\frac{1}{2}）^{x}-3＞0}\\{g（1）=1-（\frac{1}{2}）^{x}+4•（\frac{1}{2}）^{x}-3＞0}\end{array}\right.$，解不等式组求得实数x的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=a^x+m（a＞0，且a≠1）的图象经过点A（1，0），B（2，-$\frac{1}{4}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+m=0}\\{{a}^{2}+m=-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{1}{2}$，m=-$\frac{1}{2}$；
（2）f（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}-\frac{1}{2}$，函数在[-2，b]上为减函数，则$f（x）_{min}=（\frac{1}{2}）^{b}-\frac{1}{2}$，$f（x）_{max}=（\frac{1}{2}）^{-2}-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$，
由题意可得$\frac{7}{2}=7（（\frac{1}{2}）^{b}-\frac{1}{2}）$，即$（\frac{1}{2}）^{b}=1$，解得b=0；
（3）不等式ln[（4-t）f（x）+$\frac{1}{2}$t]＞0，即（4-t）f（x）+$\frac{1}{2}$t＞1，
也就是（4-t）[$（\frac{1}{2}）^{x}-\frac{1}{2}$]+$\frac{1}{2}t$＞1，即$[1-（\frac{1}{2}）^{x}]t+4•（\frac{1}{2}）^{x}-3＞0$．
则问题转化为对任意实数t∈[-1，1]，不等式$[1-（\frac{1}{2}）^{x}]t+4•（\frac{1}{2}）^{x}-3＞0$恒成立，求x得范围．
令g（t）=$[1-（\frac{1}{2}）^{x}]t+4•（\frac{1}{2}）^{x}-3$，则$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=（\frac{1}{2}）^{x}-1+4•（\frac{1}{2}）^{x}-3＞0}\\{g（1）=1-（\frac{1}{2}）^{x}+4•（\frac{1}{2}）^{x}-3＞0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{2}{3}＜（\frac{1}{2}）^{x}＜\frac{4}{5}$，
∴$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{4}{5}＜x＜lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{2}{3}$．
∴实数x的取值范围是（$-lo{g}_{2}\frac{4}{5}，-lo{g}_{2}\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查指数函数和对数函数的性质，考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了指数不等式和对数不等式的解法，是中档题．