Question

4．已知椭圆C的两个焦点的坐标分别为E（-1，0），F（1，0），并且经过点（$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），M、N为椭圆C上关于x轴对称的不同两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若$\overrightarrow{EM}$⊥$\overrightarrow{EN}$，试求点M的坐标；
（3）若A（x₁，0），B（x₂，0）为x轴上两点，且x₁x₂=2，试判断直线MA，NB的交点P是否在椭圆C上，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的长轴长的定义及焦点坐标，计算即得结论；
（2）通过设M（m，n），N（m，-n），利用$\overrightarrow{EM}⊥\overrightarrow{EN}$，计算即得结论；
（3）通过设M（m，n）、直线MA与直线NB交点为P（x₀，y₀），分别将点P代入直线MA、NB的方程，利用x₁x₂=2、m²=2-2n²，计算即得结论．

解答 （1）解：依定义，椭圆的长轴长$2a=\sqrt{{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}-1）}^2}+{{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）}^2}}+\sqrt{{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}+1）}^2}+{{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）}^2}}$，
∴4a²=8，即a²=2，
又∵b²=a²-1=1，
∴椭圆标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）解：设M（m，n），N（m，-n），
则$\overrightarrow{EM}=（m+1，n）$，$\overrightarrow{EN}=（m+1，-n）$，
∵$\overrightarrow{EM}⊥\overrightarrow{EN}$，∴$\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{EN}=0$，即（m+1）²-n²=0         ①
∵点M（m，n）在椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$上，
∴$\frac{m^2}{2}+{n^2}=1$                                     ②
由①②解得$\left\{\begin{array}{l}m=0\\ n=±1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}m=-\frac{4}{3}\\ n=±\frac{1}{3}\end{array}\right.$，
∴符合条件的点有（0，1）、（0，-1）、$（{-\frac{4}{3}，\frac{1}{3}}）$、$（{-\frac{4}{3}，-\frac{1}{3}}）$；
（3）结论：直线MA与直线NB的交点P仍在椭圆C上．
证明如下：
设M（m，n），则直线MA的方程为：y（m-x₁）=n（x-x₁）                 ③
直线NB的方程为：y（m-x₂）=-n（x-x₂）                              ④
设直线MA与直线NB交点为P（x₀，y₀），将其坐标代人③、④并整理，
得：（y₀-n）x₁=my₀-nx₀ ⑤
（y₀+n）x₂=my₀+nx₀ ⑥
⑤与⑥相乘得：$（y_0^2-{n^2}）{x_1}{x_2}={m^2}y_0^2-{n^2}x_0^2$            ⑦
又x₁x₂=2，m²=2-2n²，代入⑦化简得：$x_0^2+2y_0^2=2$，
∴直线MA与直线NB的交点P仍在椭圆C上．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，注意解题方法的积累，属于中档题．