Question

13．设函数f（x）=mx²-2mlnx-6+m，g（x）=x²-lnx
（1）当m=1时，求函数f（x）的单调区间及极值；
（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若m＞0且对于任意x₁∈[1，e]，任意x₂∈[1，e]，不等式f（x₁）＞g（x₂）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得单调区间和极值，注意定义域；
（2）求出f（x）的导数，求得单调区间，求出最大值，由不等式恒成立思想解不等式即可得到m的范围；
（3）求出f（x）的导数，求得f（x）在[1，e]的最大值，求得g（x）的导数，求得g（x）在[1，e]的最小值，由不等式恒成立思想，解不等式即可得到m的范围．

解答 解：（1）当m=1时，函数f（x）=x²-2lnx-5的导数为f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x-1）（x+1）}{x}$，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
即有f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），f（x）的极小值为f（1）=-4，无极大值；
（2）f′（x）=2mx-$\frac{2m}{x}$=$\frac{2m（x-1）（x+1）}{x}$，x＞0，
当m=0时，f（x）=-6＜0恒成立；
m＞0时，x∈[1，3]，f′（x）＞0，f（x）递增，f（3）取得最大值，且为10m-2mln3-6，
由恒成立，可得f（3）＜0即有0＜m＜$\frac{3}{5-ln3}$；
m＜0时，x∈[1，3]，f′（x）＜0，f（x）递减，f（1）取得最大值，且为2m-6，
由恒成立，可得f（1）＜0即有m＜3，即有m＜0．
综上可得，实数m的取值范围是（-∞，$\frac{3}{5-ln3}$）．
（3）m＞0由（2）得f（x）在[1，e]上递增，f（x）的最小值f（1）=2m-6，
g′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-1}{x}$，在[1，e]上g′（x）＞0，g（x）递增，g（x）的最大值为g（e）=e²-1．
由任意x₁∈[1，e]，任意x₂∈[1，e]，不等式f（x₁）＞g（x₂）恒成立，
即有2m-6＞e²-1，解得m＞$\frac{{e}^{2}+5}{2}$．
即有m的取值范围是（$\frac{{e}^{2}+5}{2}$，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，同时考查不等式恒成立思想的运用，属于中档题．