Question

18．已知f（x）是定义在[0，1]上的函数，g（x），h（x）是定义在R上的可导函数，且g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x），并且f（x）满足以下三个条件：
①f（0）=0；②f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x）；③f（1-x）=1-f（x）．
则f（$\frac{2}{5}$）+f（$\frac{7}{15}$）=1．

Answer 1

分析 g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x），可得$f（x）=\frac{h（x）}{g（x）}$，f′（x）≥0，于是f（x）在R上单调递增．由f（0）=0，f（1-x）=1-f（x），可得f（1）=1，因此f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$，$f（\frac{2}{3}）$=$\frac{1}{2}$．必然有当$\frac{1}{3}≤x≤\frac{2}{3}$时，f（x）=$\frac{1}{2}$．可得$f（\frac{2}{5}）=f（\frac{7}{15}）=\frac{1}{2}$，即可得出．

解答 解：∵g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x），
∴$f（x）=\frac{h（x）}{g（x）}$，${f}^{′}（x）=\frac{{h}^{′}（x）g（x）-h（x）{g}^{′}（x）}{{g}^{2}（x）}$≥0，
∴f（x）在R上单调递增．
∵f（0）=0，f（1-x）=1-f（x），∴f（1-0）=1-f（0），∴f（1）=1，
∴f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$，$f（1-\frac{1}{3}）=1-f（\frac{1}{3}）$，∴$f（\frac{2}{3}）$=$\frac{1}{2}$．
∴当$\frac{1}{3}≤x≤\frac{2}{3}$时，f（x）=$\frac{1}{2}$．
∵$\frac{1}{3}＜\frac{2}{5}＜\frac{7}{15}＜\frac{2}{3}$，
∴$f（\frac{2}{5}）=f（\frac{7}{15}）=\frac{1}{2}$，
∴$f（\frac{2}{5}）$+$f（\frac{7}{15}）$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．