Question

10．已知函数f（x）=（x-1）e^x-x²．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）在区间[0，k]（k＞0）上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；
（2）求出导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；
（3）求出导数，由单调区间，讨论k的范围，当0＜k≤ln2时，当ln2＜k≤1时，当k＞1时，通过单调区间，即可得到最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=（x-1）e^x-x²的导数为f′（x）=e^x+（x-1）e^x-2x=xe^x-2x，
则在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=e-2，
切点为（1，-1），则切线方程为y+1=（e-2）（x-1），
即为（e-2）x-y-e+1=0；
（2）函数f（x）=（x-1）e^x-x²的导数为f′（x）=e^x+（x-1）e^x-2x=xe^x-2x，
由f′（x）=0，解得x=ln2或x=0，
当x＞ln2或x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）的增区间为（-∞，0），（ln2，+∞）；减区间为（0，ln2）；
（3）由（2）得当0＜k≤ln2，f（x）在[0，k]递减，即有f（0）取得最大，且为-1；
当k＞ln2时，f（x）在[0，ln2）递减，在[ln2，k]递增，
由f（k）-f（0）=（k-1）（e^k-k-1），且g（x）=e^x-x-1的导数为g′（x）=e^x-1，
易得g（x）的最小值为g（0）=0，即有e^x-x-1≥0，
当ln2＜k≤1时，f（k）≤f（0），即有f（0）取得最大，且为-1；
当k＞1时，f（k）＞f（0），即有f（k）取得最大值，且为（k-1）e^k-k²．
综上可得，当0＜k≤1时，f（x）的最大值为-1；
当k＞1时，f（x）的最大值为（k-1）e^k-k²．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义和单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．