Question

6．函数f（x）=sinx．
（1）令f₁（x）=f′（x），f_n+1（x）=f_n′（x），（n∈N^*），f₂₀₁₅（x）的解析式；
（2）若f（x）+1≥ax+cosx在[0，π]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：f（$\frac{π}{2n+1}$）+f（$\frac{2π}{2n+1}$）+…+f（$\frac{（n+1）π}{2n+1}$）≥$\frac{{3\sqrt{2}（n+1）}}{4（2n+1）}$．

Answer 1

分析 （1）求出导数，得到f（x）为周期为4的函数，即可得到所求的解析式；
（2）设g（x）=1+sinx-ax-cosx，求出导数，运用正弦函数的值域，讨论①当a≤-1时，②当a≥$\sqrt{2}$时，③当-1＜a＜$\sqrt{2}$时，由函数的单调性和不等式恒成立的思想，求得最小值，解不等式即可得到所求范围；
（3）由（2）可得x∈[0，π]，sinx-cosx≥$\frac{2}{π}$x-1，即有$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）≥$\frac{2}{π}$x-1，当1≤k≤n+1时，0≤$\frac{kπ}{2n+1}$+$\frac{π}{4}$≤π，$\sqrt{2}$sin$\frac{kπ}{2n+1}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{kπ}{2n+1}$+$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）≥$\frac{2}{π}$（$\frac{kπ}{2n+1}$+$\frac{π}{4}$）-1=$\frac{2k}{2n+1}$-$\frac{1}{2}$，由累加法和等差数列的求和公式，计算即可得证．

解答 解：（1）f₁（x）=cosx，f₂（x）=-sinx，
f₃（x）=-cosx，f₄（x）=sinx，…，
f（x）为周期为4的函数，
即有f₂₀₁₅（x）=f_4×503+3（x）=f₃（x）=-cosx；
（2）设g（x）=1+sinx-ax-cosx，
g′（x）=cosx-a+sinx=$\sqrt{2}$sin（x$+\frac{π}{4}$）-a，
由x∈[0，π]，即有$\sqrt{2}$sin（x$+\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
①当a≤-1时，g′（x）≥0在[0，π]恒成立，g（x）递增，
即有g（x）的最小值为g（0）=0，则a≤-1；
②当a≥$\sqrt{2}$时，g′（x）≤0在[0，π]恒成立，g（x）递减，
即有g（x）的最小值为g（π）=2-aπ，由g（π）≥0可得a≤$\frac{2}{π}$，舍去；
③当-1＜a＜$\sqrt{2}$时，存在x₀∈[0，π]，使得x∈（0，x₀）g（x）递增，x∈（x₀，π）时，g（x）递减．
g（x）_min=min{g（0），g（π）}，由$\left\{\begin{array}{l}{g（0）≥0}\\{g（π）≥0}\end{array}\right.$可得a≤$\frac{2}{π}$，则有-1＜a≤$\frac{2}{π}$．
综上可得，a的取值范围是（-∞，$\frac{2}{π}$]；
（3）证明：由（2）可得x∈[0，π]，sinx+1≥$\frac{2}{π}$x+cosx，
即sinx-cosx≥$\frac{2}{π}$x-1，即有$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）≥$\frac{2}{π}$x-1，
当1≤k≤n+1时，0≤$\frac{kπ}{2n+1}$+$\frac{π}{4}$≤π，
即有$\sqrt{2}$sin$\frac{kπ}{2n+1}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{kπ}{2n+1}$+$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）≥$\frac{2}{π}$（$\frac{kπ}{2n+1}$+$\frac{π}{4}$）-1=$\frac{2k}{2n+1}$-$\frac{1}{2}$，
则$\sqrt{2}$[f（$\frac{π}{2n+1}$）+f（$\frac{2π}{2n+1}$）+…+f（$\frac{（n+1）π}{2n+1}$）]≥$\frac{2}{2n+1}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{2n+1}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{2（n+1）}{2n+1}$-$\frac{1}{2}$
=$\frac{2}{2n+1}$•$\frac{1}{2}$（n+1）（n+2）-$\frac{1}{2}$（n+1）=$\frac{3}{2}$•$\frac{n+1}{2n+1}$．
即为f（$\frac{π}{2n+1}$）+f（$\frac{2π}{2n+1}$）+…+f（$\frac{（n+1）π}{2n+1}$）≥$\frac{{3\sqrt{2}（n+1）}}{4（2n+1）}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的周期性及运用，运用分类讨论的思想方法和函数单调性的运用，结合正弦函数的值域，属于中档题．