Question

7．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个单位向量．
（1）若|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=3，试求$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，试求向量$\overrightarrow{m}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{n}=2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{a}$的夹角．

Answer 1

分析 （1）直接把|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=3两边平方，结合$|\overrightarrow{a}{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}$求得$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$的值；
（2）利用平面向量的数量积运算求得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$，再求出$|\overrightarrow{m}|，|\overrightarrow{n}|$，代入数量积公式求得向量$\overrightarrow{m}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{n}=2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{a}$的夹角．

解答 解：（1）由|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=3，得$（3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）^{2}=9$，即$9|\overrightarrow{a}{|}^{2}-12\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4|\overrightarrow{b}{|}^{2}=9$，
∴$9-12\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4=9$，得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{3}$；
（2）∵$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）$=$3\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2|\overrightarrow{b}{|}^{2}=3|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|cos60°$=$\frac{3}{2}$．
$|\overrightarrow{m}|=\sqrt{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}=\sqrt{4|\overrightarrow{a}{|}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}}$=$\sqrt{4+4×1×1×\frac{1}{2}+1}=\sqrt{7}$，
$|\overrightarrow{n}|=\sqrt{（2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{a}）^{2}}=\sqrt{4|\overrightarrow{b}{|}^{2}-12\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+9|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$=$\sqrt{4-12×1×1×\frac{1}{2}+9}=\sqrt{7}$．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{7}=\frac{3}{14}$．
∴向量$\overrightarrow{m}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{n}=2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{a}$的夹角为arccos$\frac{3}{14}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，考查计算能力，是中档题．