Question

8．已知函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的最大值为$\frac{1}{3}$，且最小正周期为$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（$\frac{θ}{4}$）=-$\frac{1}{5}$，θ∈（π，$\frac{3π}{2}$），求cos（θ+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，从而求得f（x）的解析式．
（2）由条件求得sinθ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cosθ的值，利用两角和的余弦公式求得cos（θ+$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的最大值为$\frac{1}{3}$，可得A=$\frac{1}{3}$，
∵f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$=$\frac{2π}{ω}$，求得ω=4，∴f（x）=$\frac{1}{3}$sin4x．
（2）∵f（$\frac{θ}{4}$）=$\frac{1}{3}$sinθ=-$\frac{1}{5}$，∴sinθ=-$\frac{3}{5}$．
结合θ∈（π，$\frac{3π}{2}$），∴cosθ=-$\frac{4}{5}$，
∴cos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•（-$\frac{4}{5}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-$\frac{3}{5}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω．还考查了同角三角函数的基本关系、两角和的余弦公式，属于基础题．