Question

18．设常数a＞0，λ∈R，函数f（x）=x²（x-a）-λ（x+a）³．
（1）若函数f（x）恰有两个零点，求λ的值；
（2）若g（λ）是函数f（x）的极大值点，求g（λ）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，当λ=1时，f（x）=x²（x-a）-（x+a）³=-a（4x²+3ax+a²）；由二次函数的性质判断；当λ≠1时，则必有一个零点是极值点；不妨设该零点为x₀，
从而可得f（x₀）=x₀²（x₀-a）-λ（x₀+a）³=0，再求导得f′（x₀）=3x₀²-2ax₀-3λ（x₀+a）²=0，从而解得x₀=0或x₀=$\frac{a}{2}$；再检验即可；
（2）求导f′（x）=3x²-2ax-3λ（x+a）²=3（1-λ）x²-2a（1+3λ）x-3λa²，分类讨论；
①当λ=1时，f′（x）=-8ax-3a²；从而确定极大值点g（λ）=-$\frac{3}{8}$a；
②当λ≠1时，1-λ≠0，令△=4a²（1+3λ）²+36（1-λ）λa²=4a²（1+15λ），讨论二次项系数及判断式的正负以确定f′（x）的正负，从而确定极大值点g（λ）；可得λ＞-$\frac{1}{15}$且λ≠1时，g（λ）=$\frac{1+3λ-\sqrt{1+15λ}}{3（1-λ）}$a；再利用换元法令$\sqrt{1+15λ}$=t，则λ=$\frac{{t}^{2}-1}{15}$，（t＞0且t≠4）；从而得g（λ）=h（t）=$\frac{1-t}{t+4}$a；从而求取值范围．

解答 解：（1）当λ=1时，f（x）=x²（x-a）-（x+a）³
=-a（4x²+3ax+a²）；
∵-a＜0，△=（3a）²-16a²=-7a²＜0，
∴f（x）＜0恒成立；故没有零点；
当λ≠1时，函数f（x）恰有两个零点；
则必有一个零点是极值点；
不妨设该零点为x₀，
则f（x₀）=x₀²（x₀-a）-λ（x₀+a）³=0，
即x₀²（x₀-a）=λ（x₀+a）³，①
又f′（x）=3x²-2ax-3λ（x+a）²
故f′（x₀）=3x₀²-2ax₀-3λ（x₀+a）²=0，②
由①②化简可得，
x₀=0或x₀=$\frac{a}{2}$；
经检验，当x₀=0时成立，此时λ=0；
当x₀=$\frac{a}{2}$时也成立，此时λ=-$\frac{1}{27}$；
故λ=0或λ=-$\frac{1}{27}$；
（2）∵f′（x）=3x²-2ax-3λ（x+a）²
=3（1-λ）x²-2a（1+3λ）x-3λa²；
①当λ=1时，f′（x）=-8ax-3a²；
则x＜-$\frac{3}{8}$a时，f′（x）＞0，x＞-$\frac{3}{8}$a时，f′（x）＜0；
故g（λ）=-$\frac{3}{8}$a；
②当λ≠1时，1-λ≠0，令△=4a²（1+3λ）²+36（1-λ）λa²=4a²（1+15λ），
（i）当λ≤-$\frac{1}{15}$时，1-λ＞0且△≤0，故f′（x）≥0，
函数f（x）是R上的增函数，函数f（x）无极值点；
（ii）当-$\frac{1}{15}$＜λ＜1时，1-λ＞0且△＞0，
由f′（x）=0解得，
x₁=$\frac{1+3λ-\sqrt{1+15λ}}{3（1-λ）}$a，x₂=$\frac{1+3λ+\sqrt{1+15λ}}{3（1-λ）}$a；
注意到x₁＜x₂，且x＜x₁时，f′（x）＞0，x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0，x＞x₂时，f′（x）＞0；
故g（λ）=$\frac{1+3λ-\sqrt{1+15λ}}{3（1-λ）}$a；
（iii）当λ＞1时，1-λ＜0且△＞0，
由f′（x）=0解得，
x₁=$\frac{1+3λ-\sqrt{1+15λ}}{3（1-λ）}$a，x₂=$\frac{1+3λ+\sqrt{1+15λ}}{3（1-λ）}$a；
注意到x₁＞x₂，且x＜x₂时，f′（x）＜0，x₂＜x＜x₁时，f′（x）＞0，x＞x₁时，f′（x）＜0；
故g（λ）=$\frac{1+3λ-\sqrt{1+15λ}}{3（1-λ）}$a；
综上所述，λ＞-$\frac{1}{15}$且λ≠1时，
g（λ）=$\frac{1+3λ-\sqrt{1+15λ}}{3（1-λ）}$a；
令$\sqrt{1+15λ}$=t，则λ=$\frac{{t}^{2}-1}{15}$，（t＞0且t≠4）；
将λ=$\frac{{t}^{2}-1}{15}$代入g（λ）=$\frac{1+3λ-\sqrt{1+15λ}}{3（1-λ）}$a得，
g（λ）=h（t）=$\frac{1-t}{t+4}$a；
当λ=1时，t=4，g（λ）=-$\frac{3}{8}$a，上式也成立；
∵h（t）=$\frac{1-t}{t+4}$a=（-1+$\frac{5}{t+4}$）a是（0，+∞）上的减函数，
由t＞0得-a＜h（t）＜$\frac{a}{4}$，
即g（λ）的取值范围是（-a，$\frac{a}{4}$）．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，本题难点在于分类讨论的情况比较多，讨论的依据也比较多，属于难题．