Question

13．已知函数f（x）=3^x，f（a+2）=81，g（x）=$\frac{1-{a}^{x}}{1+{a}^{x}}$．
（1）求g（x）的解析式并判别g（x）的奇偶性；
（2）用定义证明：函数g（x）在R上是单调递减函数；
（3）求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）先求出a，即可求g（x）的解析式并判别g（x）的奇偶性；
（2）利用单调性的定义即可证明：函数g（x）在R上是单调递减函数；
（3）根据分式公式的性质结合指数函数的单调性进行求解值域即可．

解答 解：（1）由f（a+2）=3^a+2=81，得a+2=4，故a=2，-------------（2分）
则g（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$，-----------------------------------（3分）
又g（-x）=$\frac{1-{2}^{-x}}{1+{2}^{-x}}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}=-f（x）$，
故g（x）是奇函数．---------------------------------------（5分）
（2）设x₁＜x₂∈R，f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1-{2}^{{x}_{1}}}{1+{2}^{{x}_{1}}}-\frac{1-{2}^{{x}_{2}}}{1+{2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$--------------------（7分）
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
又${2}^{{x}_{1}}$＞0，${2}^{{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），-------（9分）
则函数g（x）在R上是单调递减函数．--------------（10分）
（3）g（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=$\frac{2-（1+{2}^{x}）}{1+{2}^{x}}$=$\frac{2}{1+{2}^{x}}$-1-----------------------（11分）
∵2^x＞0，2^x+1＞1，∴0＜$\frac{1}{1+{2}^{x}}$＜1--------------------（12分）
0＜$\frac{2}{1+{2}^{x}}$＜2，-1＜$\frac{2}{1+{2}^{x}}$-1＜1---------------------------（13分）
故函数g（x）的值域为（-1，1）．---------------------------------（14分）

点评 本题主要考查函数解析式以及函数奇偶性和单调性的判断和应用，综合考查函数的性质，利用定义法是解决本题的关键．