Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$且$\overrightarrow c⊥\overrightarrow b$
（1）求向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角；
（2）求$|{3\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$．

Answer 1

分析 （1）设向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，由条件求得|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$，即2|$\overrightarrow{b}$|cosθ=|$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{b}$|，求得cosθ的值，可得θ 的值．
（2）先求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，再根据$|{3\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=$\sqrt{{（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{9\overrightarrow{a}}^{2}+6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$，计算求得结果．

解答 解：（1）设向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，由向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$且$\overrightarrow c⊥\overrightarrow b$，
可得|$\overrightarrow{b}$|=1，且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$，即2|$\overrightarrow{b}$|cosθ=|$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{b}$|，
求得cosθ=$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）可得，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2×1×cos$\frac{π}{3}$=1，$|{3\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=$\sqrt{{（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{9\overrightarrow{a}}^{2}+6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{36+6+1}$=$\sqrt{43}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，属于基础题．