Question

7．如图所示，点P在正六边形ABCDEF上按A→B→C→D→E→F→A的路径运动，其中AB=k，则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$的取值区间为[$-\frac{k}{2}$，0]∪[k，$\frac{3}{2}{k}^{2}$]．

Answer 1

分析 连接AE，可分别以直线AB，AE为x，y轴，建立平面直角坐标系，可得到$\overrightarrow{AB}=（k，0）$，设P（x，y），P点在AB或DE上时，0≤x≤k，并求出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}=x$，从而得出对应的$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$的取值范围，讨论P点在其它边上时用y表示x，并写出y的范围，从而可得到对应的$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$的取值范围，最后对以上求出的$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$取值范围求并集即可．

解答 解：连接AE，则AE⊥AB；
∴分别以直线AB，AE为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系：
$\overrightarrow{AB}=（k，0）$，设$\overrightarrow{AP}=（x，y）$；
（1）若P点在边AB上时，y=0，0≤x≤k，∴P（x，0）；
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}=kx$，k≤kx≤k²；
∴$k≤\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}≤{k}^{2}$；
（2）若P在边BC上，x=$\frac{\sqrt{3}}{3}y+k$，$0≤y≤\frac{\sqrt{3}}{2}k$，∴P$（\frac{\sqrt{3}}{3}y+k，y）$；
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}ky+{k}^{2}$；
∴${k}^{2}≤\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}≤\frac{3}{2}{k}^{2}$；
（3）若P在边CD上，$x=\frac{3}{2}k-\frac{\sqrt{3}}{3}y$，$0≤y≤\frac{\sqrt{3}}{2}k$，∴P（$\frac{3}{2}k-\frac{\sqrt{3}}{3}y，y$）；
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}{k}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}ky$；
∴${k}^{2}≤\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}≤\frac{3}{2}{k}^{2}$；
（4）若P在边DE上，0≤x≤k，P（x，y）；
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}=x$；
∴$0≤\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}≤k$；
（5）若P在边EF或FA上，$-\frac{k}{2}≤x≤0$，P（x，y）；
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}=x$；
∴$-\frac{k}{2}≤\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}≤0$；
综上得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$的取值区间为[$-\frac{k}{2}，0$]∪[$k，\frac{3}{2}{k}^{2}$]．
故答案为[$-\frac{k}{2}$，0]∪[k，$\frac{3}{2}{k}^{2}$]．

点评 考查正六边形的定义，正六边形的内角，以及通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算数量积的方法，能够想到讨论P点在每一边上时数量积的范围，数量积的坐标运算．