Question

12．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F₁、F₂，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，若|PF₁|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁、e₂，则e₁+e₂的取值范围是$（\frac{4}{3}，+∞）$．

Answer 1

分析 如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}=1$，$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}_{2}^{2}}=1$．（a₁，a₂，b₁，b₂＞0，a₁＞b₁）．根据△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，|PF₁|=10，可得10+2c=2a₁，10-2c=2a₂，可得$2=\frac{1}{{e}_{1}}-\frac{1}{{e}_{2}}$，于是e₁+e₂=e₂+$\frac{{e}_{2}}{2{e}_{2}+1}$=f（e₂），e₂＞1．利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：如图所示，
设椭圆与双曲线的标准方程分别为：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}=1$，$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}_{2}^{2}}=1$．（a₁，a₂，b₁，b₂＞0，a₁＞b₁）
∵△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，|PF₁|=10，
∴10+2c=2a₁，10-2c=2a₂，
相减可得：2c=a₁-a₂，
∴$2=\frac{1}{{e}_{1}}-\frac{1}{{e}_{2}}$，
∴${e}_{1}=\frac{{e}_{2}}{2{e}_{2}+1}$，
∴e₁+e₂=e₂+$\frac{{e}_{2}}{2{e}_{2}+1}$=f（e₂），e₂＞1．
∴f′（e₂）=1+$\frac{2{e}_{2}+1-2{e}_{2}}{（2{e}_{2}+1）^{2}}$=1+$\frac{1}{（2{e}_{2}+1）^{2}}$＞0，
∴函数f（e₂）在e₂＞1时单调递增，
∴f（e₂）＞f（1）=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$．
∴e₁+e₂的取值范围是$（\frac{4}{3}，+∞）$．
故答案为：$（\frac{4}{3}，+∞）$．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、离心率计算公式、利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．