Question

17．极坐标中，椭圆C的中心在极点O，短轴端点为P（1，$\frac{π}{2}$），一个焦点为F（$\sqrt{3}$，0）．
（1）写出椭圆C的极坐标方程；
（2）点A、B在椭圆上，且OA⊥OB，求△AOB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的短轴端点为P（1，$\frac{π}{2}$），一个焦点为F（$\sqrt{3}$，0），可得b=1，c=$\sqrt{3}$，a=2，求出椭圆的直角坐标方程，再求出椭圆C的极坐标方程；
（2）设出A，B的坐标，代入椭圆方程，两式相加，利用基本不等式求出△OAB面积的最小值．

解答 解：（1）椭圆的短轴端点为P（1，$\frac{π}{2}$），一个焦点为F（$\sqrt{3}$，0）．
所以b=1，c=$\sqrt{3}$，
所以a=2，
所以椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
所以椭圆C的极坐标方程为ρ²cos²α+4ρ²sin²α=4；
（2）可由OA⊥OB，设A（|OA|cosα，|OA|sinα），B（|OB|cos（α+$\frac{π}{2}$），|OB|sin（α+$\frac{π}{2}$）），即B（-|OB|sinα，|OB|cosα）．
将A，B代入椭圆方程后可得：$\frac{co{s}^{2}α}{4}+si{n}^{2}α$=$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$，$\frac{si{n}^{2}α}{4}+co{s}^{2}α$=$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$
两式相加可得：$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$=$\frac{5}{4}$
同时：$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$≥$\frac{2}{|OA||OB|}$，
所以|OA||OB|≥$\frac{8}{5}$，
所以S_△OAB=$\frac{1}{2}$|OA||OB|≥$\frac{4}{5}$，当且仅当|OA|=|OB|时取等，即△OAB面积的最小值为$\frac{4}{5}$． （12分）

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查椭圆的参数方程，考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，确定椭圆的方程是关键．