Question

20．求证：1+$\frac{1}{3^2}$+$\frac{1}{5^2}$+…+$\frac{1}{（2n-1）^2}$＞$\frac{7}{6}$-$\frac{1}{2（2n+1）}$．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{（2n-1）^{2}}＞\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$把不等式左边缩小，然后利用裂项相消法求和得答案．

解答 证明：1+$\frac{1}{3^2}$+$\frac{1}{5^2}$+…+$\frac{1}{（2n-1）^2}$＞$1+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=1+$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=1+$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{7}{6}-\frac{1}{2（2n+1）}$．

点评 本题考查了放缩法证明数列不等式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．