Question

17．从1到9选5个不重复数字的五位数，若五位数可以被3整除，则有用多少个符合条件的五位数？

Answer 1

分析 能被3整除的数各位数相加一定是3的倍数，把9，8，7，6，5，4，3，2，1，对应除以3的余数是，0，2，1，0，2，1，0，2，1，根据余数的特点，分类讨论即可得到选的5个数字位数的种数，再全排列即可得到答案．

解答 解：能被3整除的数各位数相加一定是3的倍数，
9，8，7，6，5，4，3，2，1，
对应除以3的余数是，
0，2，1，0，2，1，0，2，1，
五位数如果要被3整除，一个余数为2的数出现的话必须有一个余数为1的数和它相配，或者3个余数为2的数同时出现．
因为题中五位数数的限制，所以有如下结论：
当余数为0的数1个都不选的时候，不可能存在5位数被3整除，
当余数为0的数选1个的时候，余数为2的数选两个，余数为1的数选1个，有${C}_{3}^{1}×{C}_{3}^{2}×{C}_{3}^{1}$=27种，
当余数为0的数选2个的时候，余数为1的数选3个，或余数为2的数选3个，有${C}_{3}^{2}•{C}_{3}^{3}$+${C}_{3}^{2}•{C}_{3}^{3}$=6种，
当余数为0的数选3个的时候，余数为2的数选1个，余数为1的数选1个，有${C}_{3}^{3}•{C}_{3}^{1}•{C}_{3}^{1}$=9种，
总数是：27+6+9=42种，
再把选的5个数全排列，故有：42×${A}_{5}^{5}$=5040种．

点评 本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，利用所有数字相加得出的数字能被3整除，这个数字就能被3整除是关键，属于中档题．