Question

19．设m＞1，在线性约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为3．此时，约束条件下的平面区域的面积为$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，利用目标函数z=x+5y的最大值为4求得m值，可行域为三角形，求出A、B的距离，由点到直线的距离公式求出原点O到AB所在直线距离，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$下作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{y=mx}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，解得B（$\frac{1}{m+1}，\frac{m}{m+1}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）．
化目标函数z=x+5y为$y=-\frac{x}{5}+\frac{z}{5}$，
由图可知，当直线$y=-\frac{x}{5}+\frac{z}{5}$过B（$\frac{1}{m+1}，\frac{m}{m+1}$）时直线在y轴上的截距最大，
z有最大值为$\frac{5m+1}{m+1}=4$，即m=3；
此时B（$\frac{1}{4}，\frac{3}{4}$），|AB|=$\sqrt{（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）^{2}+（\frac{1}{2}-\frac{3}{4}）^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
原点O到直线x+y-1=0的距离为d=$\frac{|-1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴可行域的面积为S=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{4}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{8}$．
故答案为：3，$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．