Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1（x≤0）}\\{f（x-1）+1（x＞0）}\end{array}\right.$，g（x）=f（x）-x，把函数g（x）的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数的前n项和为（　　）

• A． S_n=$\frac{n（n-1）}{2}$
• B． S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$
• C． S_n=2ⁿ-1
• D． S_n=2^n-1-1

Answer 1

分析 根据解析式函数f（x）得出归纳推理得出f（n）=n，n∈N，得出g（x）的零点为：0，1，2，3，4…n-1，运用等差数列的知识求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1（x≤0）}\\{f（x-1）+1（x＞0）}\end{array}\right.$，
∴f（0）=0，f（1）=f（0）+1=1，f（2）=f（1）+1=2，
f（3）=f（2）+1=3，
归纳推理得出f（n）=n，n∈N
∵g（x）=f（x）-x，
∴g（x）的零点为：0，1，2，3，4…n-1，
∵函数g（x）的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，
∴该数的前n项和为：$\frac{n（0+n-1）}{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$
故选：A

点评 本题考查了函数的性质，零点的问题，融合了数列的知识，综合性较强，难度较大，属于中档题．