Question

16．在如图所示的几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为4的正方形，DE⊥平面ABCD，DE∥AF∥BG，H是DE的中点，AC与BD相交于N，DE=2AF=2BG=4
（Ⅰ）在FH上求一点P，使NP∥平面EFC；
（Ⅱ）求二面角E-FC-G的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）P为FH的中点R，证明四边形MRNQ为平行四边形，可得MQ∥NR，即可证明NP∥平面EFC；
（Ⅱ）建立坐标系，求出平面GFC的法向量、平面EFC的法向量，即可求二面角E-FC-G的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）分别取EF、FH、CF的中点M、R、Q，连接MR、MQ、NQ、NR，
则MR∥EH∥FA∥NQ且MR=$\frac{1}{2}$EH=$\frac{1}{2}$FA=NQ
∴四边形MRNQ为平行四边形，
∴MQ∥NR
又MQ?平面EFC，NR?平面EFC，
∴NR∥平面EFC，即P为FH的中点R．…（5分）
（Ⅱ）分别以直线AB、AD、AF为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则G（4，0，2），F（0，0，2），C（4，4，0），E（0，4，4）
设平面GFC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），$\overrightarrow{FG}$=（4，0，0），$\overrightarrow{CG}$=（0，-4，2）
则$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{2y-z=0}\end{array}\right.$，令z=2得：$\overrightarrow{m}$=（0，1，2）
类似可得平面EFC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（2，-1，2），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴二面角E-FC-G的余弦值为-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定，二面角E-FC-G的余弦值、考查逻辑思维能力，空间想象能力，关键是求出平面的法向量．