Question

8．已知直线x+y-a=0与圆x²+y²=2交于A、B两点，O是坐标原点，向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$满足条件|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|，则实数a的值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． -$\sqrt{2}$
• C． ±$\sqrt{2}$
• D． ±1

Answer 1

分析 根据|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|，可知∠AOB=90°，故原点O到直线的x+y-a=0的距离为1，可求得a的值．

解答 解：由|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|，两边平方，得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
所以∠AOB=90°，则△AOB为等腰直角三角形，
而圆x²+y²=2的半径AO=$\sqrt{2}$，则原点O到直线的x+y-a=0的距离为1，
所以$\frac{|0+0-a|}{\sqrt{1+1}}$=1，即a的值为$\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了直线与圆相交的性质，熟练正确运用已知条件以及点到直线的距离是解决此问题的关键．