Question

19．已知f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）
（1）求f（-$\frac{π}{2}$）的值．
（2）若θ为锐角，f（2θ）+f（-2θ）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求tanθ的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用诱导公式求得f（-$\frac{π}{2}$）的值．
（2）由条件利用两角和差的正弦公式求得 cos4θ 的值，可得cos2θ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得tanθ的值．

解答 解：（1）f（-$\frac{π}{2}$）=sin（-π+$\frac{π}{3}$）=sin（-$\frac{2π}{3}$）=-sin$\frac{π}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）∵θ为锐角，f（2θ）+f（-2θ）=sin（4θ+$\frac{π}{3}$）+sin（-4θ+$\frac{π}{3}$）
=sin4θcos$\frac{π}{3}$+cos4θsin$\frac{π}{3}$-sin4θcos$\frac{π}{3}$+cos4θsin$\frac{π}{3}$=2cos4θsin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$cos4θ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos4θ=$\frac{1}{3}$．
由于4θ∈（0，2π），故4θ∈（0，$\frac{π}{2}$），或4θ∈（$\frac{3π}{2}$，2π）．
若4θ∈（0，$\frac{π}{2}$），cos4θ=$\frac{1}{3}$=2cos²2θ-1，∴cos2θ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{{cos}^{2}θ{-sin}^{2}θ}{{cos}^{2}θ{+sin}^{2}θ}$=$\frac{1{-tan}^{2}θ}{1{+tan}^{2}θ}$，
∴tan²θ=$\frac{3-\sqrt{6}}{3+\sqrt{6}}$=5-2$\sqrt{6}$，∴tanθ=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$．
若4θ∈（$\frac{3π}{2}$，2π），cos4θ=$\frac{1}{3}$=2cos²2θ-1，∴cos2θ=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{{cos}^{2}θ{-sin}^{2}θ}{{cos}^{2}θ{+sin}^{2}θ}$=$\frac{1{-tan}^{2}θ}{1{+tan}^{2}θ}$，
∴tan²θ=$\frac{3+\sqrt{6}}{3-\sqrt{6}}$=5+2$\sqrt{6}$，∴tanθ=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和差的正弦公式，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．