Question

14．若x（xlnx）′=lnx+1，a=${∫}_{1}^{e}$lnxd_x，a¹⁰⁰+2C${\;}_{100}^{1}$a⁹⁹+2²C${\;}_{100}^{2}$a⁹⁸+…+2⁹⁹C${\;}_{100}^{1}$a+2¹⁰⁰被10除得的余数为（　　）

• A． 3
• B． 1
• C． 9
• D． 7

Answer 1

分析 利用导数求出a，再利用二项式定理，即可得出结论．

解答 解：由x（xlnx）′=lnx+1，a=${∫}_{1}^{e}$lnxdx，可知（xlnx-x）′=lnx，
所以a=${∫}_{1}^{e}$lnxdx=（xlnx-x）${|}_{1}^{e}$=1，
所以a¹⁰⁰+2C${\;}_{100}^{1}$a⁹⁹+2²C${\;}_{100}^{2}$a⁹⁸+…+2⁹⁹C${\;}_{100}^{1}$a+2¹⁰⁰=（a+2）¹⁰⁰=3¹⁰⁰
=（10-1）⁵⁰=10⁵⁰-${C}_{50}^{1}$•10⁴⁰+…+$（-1）^{49}{C}_{50}^{49}•10$+（-1）⁵⁰．
所以余数为1．
故选：B．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查二项式定理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．