Question

7．已知函数f（x）=x²e^x．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：?x₁，x₂∈（-∞，0]，f（x₁）-f（x₂）≤$\frac{4}{{e}^{2}}$；
（Ⅲ）写出集合{x∈R|f（x）-b=0}（b为常数且b∈R）中元素的个数（只需写出结论）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）在（-∞，-2）递增，在（-2，0）递减．当x∈（-∞，0]时，f（x）的最大值为f（-2），再由f（x）≥0，则在x∈（-∞，0]时，f（x）的最小值为f（0）=0，再由?x₁，x₂∈（-∞，0]，f（x₁）-f（x₂）≤f（x）_max-f（x）_min=，即可得证；
（Ⅲ）对b讨论，当b＜0时，当b=0或b＞$\frac{4}{{e}^{2}}$时，当b=$\frac{4}{{e}^{2}}$时，当0＜b＜$\frac{4}{{e}^{2}}$时，即可得到集合中元素的个数．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x²e^x的导数f′（x）=（2x+x²）e^x，
由f′（x）＞0，可得x＞0或x＜-2，由f′（x）＜0，可得-2＜x＜0．
则f（x）的增区间为（-∞，-2），（0，+∞），减区间为（-2，0）；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得f（x）在（-∞，-2）递增，在（-2，0）递减．
当x∈（-∞，0]时，f（x）的最大值为f（-2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$，
由于f（x）≥0，则在x∈（-∞，0]时，f（x）的最小值为f（0）=0，
则?x₁，x₂∈（-∞，0]，f（x）的最大值-f（x）的最小值为$\frac{4}{{e}^{2}}$，
即有?x₁，x₂∈（-∞，0]，f（x₁）-f（x₂）≤f（x）_max-f（x）_min=$\frac{4}{{e}^{2}}$；
（Ⅲ）当b＜0时，集合{x∈R|f（x）-b=0}的元素个数为0；
当b=0或b＞$\frac{4}{{e}^{2}}$时，集合{x∈R|f（x）-b=0}的元素个数为1；
当b=$\frac{4}{{e}^{2}}$时，集合{x∈R|f（x）-b=0}的元素个数为2；
当0＜b＜$\frac{4}{{e}^{2}}$时，集合{x∈R|f（x）-b=0}的元素个数为3．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和最值，同时考查函数的单调性及运用，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．