Question

16．已知S_n=${∫}_{0}^{n}$（x²+2x+$\frac{2}{3}$）dx是数列{a_n}的前n项和，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由定积分可得S_n=${∫}_{0}^{n}$（x²+2x+$\frac{2}{3}$）dx=$\frac{1}{3}$n³+n²+$\frac{2}{3}$n；再由a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$求解即可．

解答 解：由题意，S_n=${∫}_{0}^{n}$（x²+2x+$\frac{2}{3}$）dx=$\frac{1}{3}$n³+n²+$\frac{2}{3}$n；
①当n=1时，a₁=S₁=$\frac{1}{3}$+1+$\frac{2}{3}$=2，
②当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=$\frac{1}{3}$n³+n²+$\frac{2}{3}$n-（$\frac{1}{3}$（n-1）³+（n-1）²+$\frac{2}{3}$（n-1））
=n²+n；
a₁=2也满足上式；
故a_n=n²+n．

点评 本题考查了函数的定积分的求法及数列的通项公式的求法，属于基础题．