Question

5．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁=$\frac{1}{2}$BC，∠ABC=90°，N、F分别是A₁C₁、B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：CF⊥平面NFB；
（Ⅱ）求二面角C-BN-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据直棱柱的性质及AB⊥BC，判定NF与平面BC₁的垂直关系，再由线面垂直的性质判断线线垂直，然后由线线垂直⇒线面垂直；
（Ⅱ）连接B₁G交BF于点O，过O作BN的垂线，垂足为M，∠B₁MG的余弦值为二面角C-BN-B₁的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
B₁B⊥AB，BC⊥AB，又B₁B∩BC=B，
∴AB⊥平面BB₁C₁C．
又N、F分别为A₁ C₁、B₁ C₁的中点
∴AB∥A₁B₁∥NF．
∴NF⊥平面BB₁C₁C．
∵FC?平面BB₁C₁C，∴NF⊥FC．
取BC中点G，有BG=GF=GC，∴BF⊥FC，
又NF∩FB=F，
∴FC⊥平面NFB；
（Ⅱ）解：连接B₁G交BF于点O，过O作BN的垂线，垂足为M，
∵FC⊥平面NFB，FC∥B₁G，
∴B₁G⊥平面NFB，
∵BN?平面NFB，
∴B₁G⊥BN
∵MO⊥BN，
∴BN⊥平面B₁GM，
∴B₁M⊥BN，GM⊥BN，
∴∠B₁MG的余弦值为二面角C-BN-B₁的余弦值．
∵GB₁⊥MO，BO=OG，
∴B₁N=GM，
∴△B₁MG为等腰三角形，
令AB=a，则B₁G=$\sqrt{2}a$，MO=$\frac{1}{2}•\frac{BF×FN}{BN}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$a，
B₁M=GM=$\sqrt{（\frac{1}{2}{B}_{1}G）^{2}+M{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$a，
∴二面角C-BN-B₁的余弦值=$\frac{{B}_{1}{M}^{2}+M{G}^{2}-{B}_{1}{G}^{2}}{2{B}_{1}M×MG}$=-$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查二面角C-BN-B₁的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．