Question

13．如图，已知椭圆$C：\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（A点在x轴下方），且线段AB的中点E在直线y=x上．
（1）求直线AB的方程；
（2）若点P为椭圆C上异于A、B的动点，且直线AP，BP分别交直线y=x于点M、N，证明：OM•ON为定值．

Answer 1

分析 （1）设点E（m，m），则A（2m，2m+2），通过将点A代入椭圆C，计算即得结论；
（2）设P（x₀，y₀），分别联立直线AP与直线y=x的方程、直线BP与直线y=x的方程，计算即得结论．

解答 （1）解：设点E（m，m），∵B（0，-2），∴A（2m，2m+2），
∵点A在椭圆C上，∴$\frac{4{m}^{2}}{12}+\frac{（2m+2）^{2}}{4}=1$，
解得m=-$\frac{3}{2}$或m=0（舍去），
∴A（-3，-1），
∴直线AB的方程为：x+3y+6=0；
（2）证明：设P（x₀，y₀），则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{12}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$，
①直线AP方程为：y+1=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}+3}$（x+3），
联立直线AP与直线y=x的方程，解得：x_M=$\frac{3{y}_{0}-{x}_{0}}{{x}_{0}-{y}_{0}+2}$，
同理x_N=$\frac{-2{x}_{0}}{{x}_{0}-{y}_{0}-2}$，
∴OM•ON=$\sqrt{2}$|x_M|•$\sqrt{2}$|x_N|=2|$\frac{3{y}_{0}-{x}_{0}}{{x}_{0}-{y}_{0}+2}$•$\frac{-2{x}_{0}}{{x}_{0}-{y}_{0}-2}$|=2|$\frac{{{x}_{0}}^{2}-3{x}_{0}{y}_{0}}{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}-{x}_{0}{y}_{0}}$|=6

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．