Question

5．已知椭圆C₁的中心在坐标原点，两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），点A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在椭圆C₁上，过点A的直线L与抛物线C₂：x²=4y交于B，C两点，抛物线C₂在点B，C处的切线分别为l₁，l₂，且l₁与l₂交于点P．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）是否存在满足|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|$+|\overrightarrow{P{F}_{2}}|$=|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|$+|\overrightarrow{A{F}_{2}}|$的点P，若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点P的坐标）；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由焦点坐标可求得c，代入点求出椭圆方程．
（2）直线$y-\frac{\sqrt{2}}{2}=k（x-1）$，与抛物线相交根据条件列式求解即可．

解答 解：（1）设椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+1}\end{array}\right.$
解得：a²=2，b²=1，所以椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$
（2）当过点A的直线L斜率不存在时，直线L与抛物线x²=4y只有一个交点，不合题意
故可设过点A的直线为$y-\frac{\sqrt{2}}{2}=k（x-1）$，与抛物线的交点为B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y-\frac{\sqrt{2}}{2}=k（x-1）}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$得，x²-4kx+4k-2$\sqrt{2}$=0，
△=16k²-16k+8$\sqrt{2}$=16（x-$\frac{1}{2}$）²-4+8$\sqrt{2}$＞0恒成立．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=4k-2$\sqrt{2}$①
由x²=4y，即y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，得y'=$\frac{1}{2}x$
∴抛物线C2在点C处的切线l2的方程为$y-\frac{1}{4}{x}_{1}^{2}=\frac{{x}_{1}}{2}（x-{x}_{1}）$即$y=\frac{{x}_{1}}{2}x-\frac{1}{4}{x}_{1}^{2}②$
同理，抛物线C2在点B处切线l2的方程为$y=\frac{{x}_{2}}{2}x-\frac{1}{4}{x}_{2}^{2}③$
设l₁与l₂交点P（x，y）由②③解得：$\frac{{x}_{1}}{2}x-\frac{1}{4}{x}_{1}^{2}=\frac{{x}_{2}}{2}x-\frac{1}{4}{x}_{2}^{2}$
而x₁≠x₂，则x=$\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）$，代入②得y=$\frac{1}{4}{x}_{1}{x}_{2}$
由①得点P的坐标为（$2k，k-\frac{\sqrt{2}}{2}$）
由$|\overrightarrow{{PF}_{1}}|$$+|\overrightarrow{P{F}_{2}}|=|\overrightarrow{A{F}_{1}}|+|\overrightarrow{A{F}_{2}}|$，得点P在椭圆C₁上，代入椭圆方程，得，
$\frac{4{k}^{2}}{2}+（k-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}=1$，即3k²-$\sqrt{2}$k-$\frac{1}{2}=0$
∵△=2-4×3×$（-\frac{1}{2}）^{2}＞0$，方程有2解．
所以满足条件的点P有2个．

点评 本题主要考查了抛物线方程的求法和直线与圆锥曲线的综合问题，属常考题型，中档题目．