Question

17．若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是λ一伴随函数，下列对于λ一伴随函数的叙述不正确的是①②
①f（x）=0是唯一的一个常值λ一伴随函数；
②f（x）=x²是一个λ一伴随函数；
③f（x）=2^x是一个λ一伴随函数；
④$\frac{1}{2}$一伴随函数至少有一个零点．

Answer 1

分析 ①对于任意λ∈R，f（x）=0时，f（x+λ）+λf（x）=0对任意的实数x都成立，从而判断；
②假设f（x）=x²是一个λ一伴随函数；从而推出矛盾即可，从而判断；
③假设f（x）=2^x是一个λ一伴随函数；从而可推出2^λ+λ=0；结合方程的根与函数的零点的关系可判断方程有解，从而判断；
④若f（x）是$\frac{1}{2}$一伴随函数；从而可得f（x+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（x）=0，再利用函数零点的判定定理判断即可．

解答 解：①对于任意λ∈R，f（x）=0时，f（x+λ）+λf（x）=0对任意的实数x都成立，
故可判断f（x）=0是唯一的一个对任意λ都成立的λ一伴随函数；
故①不正确；
②若f（x）=x²是一个λ一伴随函数；
则存在常数λ（λ∈R），
使f（x+λ）+λf（x）=0恒成立，
即（x+λ）²+λx²=0；
当x=0时，λ=0；
当x≠0，λ=0时，（x+λ）²+λx²=0不成立；
故②不正确；
③若f（x）=2^x是一个λ一伴随函数；
则存在常数λ（λ∈R），
使f（x+λ）+λf（x）=0恒成立，
即2^x+λ+λ2^x=0；
即2^x（2^λ+λ）=0，
即2^λ+λ=0；
由方程的根与函数的零点的关系知，
存在λ₀，使2^λ+λ=0成立；
故③正确；
④若f（x）是$\frac{1}{2}$一伴随函数；
则f（x+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（x）=0，
若f（x）=0，则f（x+$\frac{1}{2}$）=0，
则x，x+$\frac{1}{2}$是f（x）的零点；
若f（x）≠0，则f（x）•f（x+$\frac{1}{2}$）＜0，
则f（x）在（x，x$+\frac{1}{2}$）上有零点；
故④正确；
故答案为：①②．

点评 本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了函数零点的判断与应用，属于中档题．