Question

6．已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），设F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{-f（x），x＜0}\end{array}\right.$，若f（-1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求F（x）的表达式．

Answer 1

分析 由题意得函数f（x）的对称轴为x=-1，用待定系数法求出f（x）的解析式，从而得F（x）的解析式；

解答 解：（1）∵f（x）=ax²+bx+1，
f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立；
∴x=-$\frac{b}{2a}$=-1，且a-b+1=0；
即$\left\{\begin{array}{l}{b=2a}\\{a-b+1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$；
∴f（x）=x²+2x+1，
∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+1}\\{-{x}^{2}-2x-1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，是基础题．