Question

16．已知数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n满足2S_n=（a_n+3）（a_n-2）（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{2n-1}•{a}_{2n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）2S_n=（a_n+3）（a_n-2）（n∈N^*），即2S_n=${a}_{n}^{2}+{a}_{n}-6$，利用递推式化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由于a_n＞0，可得a_n-a_n-1=1，利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{2n-1}•{a}_{2n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵2S_n=（a_n+3）（a_n-2）（n∈N^*），即2S_n=${a}_{n}^{2}+{a}_{n}-6$，
∴当n=1时，$2{a}_{1}={a}_{1}^{2}+{a}_{1}$-6，a₁＞0，解得a₁=3．
当n≥2时，2S_n-1=${a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}$-6，
∴2a_n=${a}_{n}^{2}+{a}_{n}$-${a}_{n-1}^{2}$-a_n-1，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，∴数列{a_n}是等差数列，首项为3，公差为1，
∴a_n=3+（n-1）=n+2，
∴a_n=n+2．
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{2n-1}•{a}_{2n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{2n-1}•{a}_{2n+1}}$}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$=$\frac{n}{3（2n+3）}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．