Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．若M，N分别为棱PD，PC上的点，O为AC的中点，且AC=2OM=2ON．
（Ⅰ）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；
（Ⅲ）求点N到平面ACM的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题设知，AC=2OM，则AM⊥MC，CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，有AM⊥平面PCD，由此能证明平面ABM⊥平面PCD．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ACM的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；
（Ⅲ）确定$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{8}{9}$，$\frac{16}{9}$，$\frac{20}{9}$），利用向量的距离公式．由此能求出点N到平面ACM的距离．

解答 （Ⅰ）证明：依题设知，AC=2OM，则AM⊥MC．
又因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，
所以AM⊥平面PCD，
所以平面ABM⊥平面PCD．                           …（4分）
（Ⅱ）解：如图所示，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；
设平面ACM的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{AM}$可得：$\left\{\begin{array}{l}{2x+4y=0}\\{2y+2z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1）．
设所求角为α，则sinα=|$\frac{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{CD}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．                       …（9分）
（Ⅲ）解：由条件可得，AN⊥NC．
设$\overrightarrow{PN}$=λ$\overrightarrow{PC}$=（2λ，4λ，-4λ），则$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{PN}$=（2λ，4λ，4-4λ），
所以$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{PC}$=（2λ，4λ，4-4λ）•（2，4，-4）=36λ-16=0
解得λ=$\frac{4}{9}$，所以$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{8}{9}$，$\frac{16}{9}$，$\frac{20}{9}$），
设点N到平面ACM距离为h，则h=$\frac{|\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{10\sqrt{6}}{27}$．       …（13分）

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查点到平面的距离的求法，正确利用向量的方法是关键．