Question

5．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上为减函数，若$f（{ln\frac{n}{m}}）$+$f（{ln\frac{m}{n}}）$-2f（1）＞0，则$\frac{{{m^2}+{n^2}}}{mn}$的取值范围是（　　）

• A． （e，+∞）
• B． [2，e）
• C． $（{e+\frac{1}{e}，+∞}）$
• D． $[{2，e+\frac{1}{e}}）$

Answer 1

分析 先根据对数的运算性质和函数的奇偶性性化简不等式，然后利用函数是偶函数得到不等式f（ln$\frac{m}{n}$）=f（-ln$\frac{n}{m}$），等价为|ln$\frac{n}{m}$|＜1f（|lnt|）≤f（1），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递减即可得到不等式的解集从而求解．

解答 ：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（ln$\frac{m}{n}$）=f（-ln$\frac{n}{m}$）
∴$f（{ln\frac{n}{m}}）$+$f（{ln\frac{m}{n}}）$-2f（1）＞0可化为$f（{ln\frac{n}{m}}）$＞f（1），
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减．
∴|ln$\frac{n}{m}$|＜1，
∴$\frac{1}{e}＜\frac{n}{m}＜e$，
又$\frac{{{m^2}+{n^2}}}{mn}$=$\frac{n}{m}+\frac{1}{\frac{n}{m}}$∈[2，e+$\frac{1}{e}$）
故选D．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数是偶函数的性质得到f（a）=f（|a|）是解决偶函数问题的关键．先利用对数的性质将不等式进行化简是解决本题的突破点