Question

15．已知二次函数f（x）=ax²+（2b+1）x-a-2在区间[3，4]上至少有一个零点，则a²+b²的最小值为$\frac{1}{100}$．

Answer 1

分析 把等式看成关于a，b的直线方程：（x²-1）a+2xb+x-2=0，由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，从而可得$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥$\frac{|x-2|}{\sqrt{（{x}^{2}-1）^{2}+（2x）^{2}}}$，从而可得a²+b²≥$（\frac{x-2}{1+{x}^{2}}）^{2}$=$\frac{1}{（x-2+\frac{5}{x-2}+4）^{2}}$；从而解得．

解答 解：把等式看成关于a，b的直线方程：（x²-1）a+2xb+x-2=0，
由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，
即$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥$\frac{|x-2|}{\sqrt{（{x}^{2}-1）^{2}+（2x）^{2}}}$，
所以a²+b²≥$（\frac{x-2}{1+{x}^{2}}）^{2}$=$\frac{1}{（x-2+\frac{5}{x-2}+4）^{2}}$，
∵x-2+$\frac{5}{x-2}$在[3，4]是减函数，
∴2+$\frac{5}{2}$≤x-2+$\frac{5}{x-2}$≤1+5；
即$\frac{9}{2}$≤x-2+$\frac{5}{x-2}$≤6；
故$\frac{1}{（x-2+\frac{5}{x-2}+4）^{2}}$≥$\frac{1}{100}$；
当x=3，a=-$\frac{2}{25}$，b=-$\frac{3}{50}$时取等号，
故a²+b²的最小值为$\frac{1}{100}$．
故答案为：$\frac{1}{100}$．

点评 本题考查了函数的零点的应用，把等式看成关于a，b的直线方程（x²-1）a+2xb+x-2=0是难点，属于中档题．