Question

4．设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$），给出以下四个论断：
①它的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称；
②它的图象关于点（$\frac{π}{3}$，0）对称；
③它的周期是π；          
④在区间[-$\frac{π}{6}$，0）上是增函数．
以其中的两个论断为条件，余下的论断作为结论，则下列命题正确的是（　　）

• A． ①③⇒②④或②③⇒①④
• B． ①③⇒②④
• C． ②③⇒①④
• D． ①④⇒②③

Answer 1

分析 （1）①③⇒②④：由于T=π=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=2，可得f（x）=sin（2x+φ），由于f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，可得$sin（\frac{π}{6}+φ）$=±1，根据-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$），解得φ=$\frac{π}{3}$．可得f（x）=$sin（2x+\frac{π}{3}）$，即可判断出①④正确．
（2）②③⇒①④．由于T=π=$\frac{2π}{ω}$，可得f（x）=sin（2x+φ），由f（x）的图象关于点（$\frac{π}{3}$，0）对称，可得φ=$\frac{π}{3}$．于是f（x）=$sin（2x+\frac{π}{3}）$．即可判断出①④正确．

解答 解：（1）①③⇒②④：由于T=π=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），∵f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，∴$sin（\frac{π}{6}+φ）$=±1，∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{3}$＜φ+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，∴只可能φ+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得φ=$\frac{π}{3}$．∴f（x）=$sin（2x+\frac{π}{3}）$，∴$f（\frac{π}{3}）$=sinπ=0，因此f（x）的图象关于点（$\frac{π}{3}$，0）对称，即②正确；若x∈[-$\frac{π}{6}$，0），则$（2x+\frac{π}{3}）$∈$[0，\frac{π}{3}）$，因此函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，0）上是增函数，即④正确．因此①③⇒②④．
（2）②③⇒①④．由于T=π=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），由f（x）的图象关于点（$\frac{π}{3}$，0）对称，
∴$f（\frac{π}{3}）$=sin$（\frac{2π}{3}+φ）$=0，∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$），∴φ=$\frac{π}{3}$．∴f（x）=$sin（2x+\frac{π}{3}）$．由$f（\frac{π}{12}）$=$sin\frac{π}{2}$=1，∴f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称．由（1）可知，f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，0）上是增函数．综上可知：②③⇒①④．
综上可得：A正确．
故选：A．

点评 本题综合考查了三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．