Question

19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a²=b²+c²-bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{3}$，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理和已知等式求得cosA的值，进而求得A．
（Ⅱ）利用两边之和大于第三边，求得b+c的一个范围，进而利用a²=3=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc利用基本不等式求得b+c的最大值，综合可得答案．

解答 解：（I）由已知得：bc=b²+c²-a²，
故cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$．
∴A=$\frac{π}{3}$．
（II）解：一方面b+c＞a=$\sqrt{3}$，
另一方面：a²=3=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-$\frac{3}{4}$（b+c）²=$\frac{1}{4}$（b+c）²，
∴（b+c）²≤12，b+c≤2$\sqrt{3}$，当且仅当b=c=$\sqrt{3}$时取到等号．
综上：$\sqrt{3}$＜b+c≤2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题过程中利用了运用基本不等式的知识解决范围问题．