Question

8．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线与曲线y=x³+2相切，则双曲线的离心率为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，函数y=x³+2，求导函数，再设切点坐标，利用双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x³+2相切，建立方程组，即可求得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率．

解答 解：双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，函数y=x³+2，求导函数可得y=3x²，
设切点坐标为（m，n），则
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x³+2相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=3{m}^{2}}\\{n=\frac{b}{a}m}\\{3{m}^{2}=\frac{b}{a}}\end{array}\right.$，∴m=1，$\frac{b}{a}$=3，∴b=3a，
∴c²=a²+b²=10a²，
∴c=$\sqrt{10}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{10}$
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题考查直线与曲线相切，考查双曲线的几何性质，正确运用双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x³+2相切是关键．