Question

1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MB}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆的焦距为2，离心率为$\frac{1}{2}$，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设直线l方程为y=kx+1，代入椭圆方程，由$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MB}$，得x₁=-2x₂，利用韦达定理，化简求出k，即可求直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，c=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，…（1分）
∴a=2，b=$\sqrt{3}$                                      …（3分）
故椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．                              …（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当k不存在时，直线方程为x=0，不符合题意．             …（5分）
当k存在时，设直线方程为y=kx+1，
代入椭圆方程，消去y，得：（3+4k²）x²+8kx-8=0，且△＞0，…（6分）
x₁+x₂=-$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$①，x₁x₂=-$\frac{8}{3+4{k}^{2}}$②…（8分）
若$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MB}$，则x₁=-2x₂，③…（9分）
①②③，可得k=±$\frac{1}{2}$．…（13分）
所求直线方程为y=$±\frac{1}{2}$x+1．即x-2y+2=0或x+2y-2=0                         …（14分）

点评 本题以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，关键是直线与椭圆方程的联立，利用韦达定理可解．