Question

13．已知抛物线y²=4x过焦点F的弦AB，过弦AB的中点作准线l的垂线，垂足为M，则$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的值为0．

Answer 1

分析 分A、B所在直线与x轴垂直与不垂直两种情况讨论，利用向量数量积运算及韦达定理计算即得结论．

解答 解：由题可知：F（1，0），准线l：x=-1．
①当A、B所在直线与x轴垂直时，易知A（1，2），B（1，-2），M（-1，0），
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（2，2）•（2，-2）=0；
②当A、B所在直线不与x轴垂直时，设其方程为：y=k（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y可得：k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
∴弦AB中点坐标为D（$\frac{2+{k}^{2}}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
∴M（-1，$\frac{2}{k}$），
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁+1，${y}_{1}-\frac{2}{k}$）•（x₂+1，y₂-$\frac{2}{k}$）
=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+y₁y₂-$\frac{2}{k}$（y₁+y₂）+$\frac{4}{{k}^{2}}$
=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+k²（x₁-1）（x₂-1）-$\frac{2}{k}$•k（x₁+x₂-2）+$\frac{4}{{k}^{2}}$
=（1+k²）x₁x₂+（-1-k²）（x₁+x₂）+5+k²+$\frac{4}{{k}^{2}}$
=（1+k²）+（-1-k²）$\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}$+5+k²+$\frac{4}{{k}^{2}}$
=（1+k²）+（-1-k²）（$\frac{4}{{k}^{2}}$+2）+5+k²+$\frac{4}{{k}^{2}}$
=0；
综上所述，$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，
故答案为：0．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．