Question

1．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的上、下顶点为A，B，过点P（0，2）的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D（C在线段PD之间），则$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$的取值范围（　　）

• A． （-1，16）
• B． [-1，16]
• C． （-1，$\frac{13}{4}$）
• D． [-1，$\frac{13}{4}$）

Answer 1

分析 由题意画出图形，分直线的斜率不存在和存在两种情况求解，当直线斜率不存在时，求得$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=-1，当直线斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立，由判别式大于0求得k的范围，再结合根与系数的关系写出数量积，由k得范围求得$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$的范围．

解答 解：当直线斜率不存在时，直线方程为x=0，C（0，1），D（0，-1），
此时$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=-1；
当直线斜率存在时，设斜率为k（k≠0），
则直线方程为y=kx+2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
△=（16k）²-48（1+4k²）=64k²-48＞0，得${k}^{2}＞\frac{3}{4}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{16k}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=${k}^{2}•\frac{12}{1+4{k}^{2}}+2k•（-\frac{16k}{1+4{k}^{2}}）+4$=$\frac{4（1-{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=\frac{12}{1+4{k}^{2}}+\frac{4-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{16-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=$-\frac{1+4{k}^{2}-17}{1+4{k}^{2}}=-1+\frac{17}{1+4{k}^{2}}$．
∵${k}^{2}＞\frac{3}{4}$，∴1+4k²＞4，$0＜\frac{17}{1+4{k}^{2}}＜\frac{17}{4}$，
则$-1＜\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}＜\frac{13}{4}$，
综上，$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$的取值范围是$[-1，\frac{13}{4}）$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查平面向量的数量积运算，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，是中高档题．