Question

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}{b}$．
（1）求角A的大小；
（2）若函数f（x）=2sin²（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos2x，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，在x=B处取到最大值a，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）把已知等式中的切化弦，利用正弦定理把边转化为角的正弦，整理可求得cosA的值，进而求得A．
（2）把利用两角和公式对函数解析式化简，利用正弦函数的性质求得函数最大值时B，C和a的值，进而利用正弦定理求得c，最后利用三角形面积公式求得答案．

解答 解：（1）因为1+$\frac{sinA}{cosA}$•$\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{2sinC}{sinB}$，
所以$\frac{sinC}{cosA}$=2sinC，
又因为sinC≠0，所以cosA=$\frac{1}{2}$，
所以A=$\frac{π}{3}$．
（2）因为f（x）=2sin²（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos2x=1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
所以，当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{5π}{12}$时，f（x）_max=3，
此时B=$\frac{5π}{12}$，C=$\frac{π}{4}$，a=3．
因为$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，所以c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{3×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{6}$，
则S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{9+3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理和三角函数图象与性质．考查了学生基础公式的运用和一定的运算能力．